المرونة الخطية

مرونة خطية ( Linear elasticity ) هي دراسة رياضية لكيفية تشويه ( Deform ) الأجسام الصلبة ليصبح الجسم متداخلا ( "مضغوطا للداخل" Internally Stressed ) بسبب الظروف التي تعرض لها. تعتمد المرونة الخطية على الفرضية الاستمرارية ( Continuum Hypothesis ) و تطبق عيانيا أو مجهريا( بعض الأحيان ).و المرونة الخطية هي تبسيط للنظرية الأكثر عموما و هي نظرية المرونة الغير خطية ( Nonlinear Theory of Elasticity ) و هي فرع من الميكانيكا الإستمرارية ( Continuum Mechanics ).

الإفتراضات الأساسية "الخطية ( linearizing )" للمرونة الخطية هي:

• وجود سلاسل متناهية في الصغر .
• العلاقة الخطية في العناصر بين الضغط ( Stress ) و الإجهاد.
• المرونة الخطية لا تستخدم إلا في حالة الضغوط.

و هذه الإفتراضات معقولة بالنسبة للعديد من الموارد الهندسية و التصميم الهندسي. لذلك أُستخدمت بشكل واسع في قواعد التحليل أو هيكليته و التصميم الهندسي ,و كثير من الأحيان تستخدم للمساعدة في تحليل العناصر المحدودة .

 الصيغة الرياضية

• تينسور: هي تعبير تفاضلي لكمية متجهة.(سوف أذكرها تنسور)

المعادلات التي تقوم عليها المرونة الخطية أساس ثلاث معادلات تنسور تفاضلية جزئية لميزان الزخم الخطي وعلاقات إزاحة الإجهاد المتناهية الصغر الستّ.و إن أنظمة المعادلات التفاضلية تكتمل عند وضع العلاقات الجبرية الخطية.

 نموذج تنسور المباشر

في هذا النموذج نجد أنه مستقل عن عملية اختيار الإحداثيات,و معادلاته هي:

• معادلة الحركة ,و التي تعبر عن قانون نيوتن الثاني:

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}$

• معادلة إزاحة الاجهاد:

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]\,\!$

• المعادلات الأساسية.يمثل قانون هوك السلوك المادي ويربط بين الضغط المجهول والإجهاد. و المعادلة العامة لقانون هوك هي:

${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,\!$

حيث:

• ${\boldsymbol {\sigma }}$ هو إجهاد كاوكهي تنسور( Cauchy stress tensor ),
• ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ هو إجهاد متناهي الصغر تنسور( infinitesimal strain tensor ),
• $\mathbf {u}$ هو موجة الإزاحة,
• ${\mathsf {C}}$ هو تنسور لتصلب المواد( tensor of material stiffness ),
• $\mathbf {F}$ هو قوة الجسم لكل و حدة حجم,
• $\rho$ هو الكثافة الحجمية( mass density ),
• ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\bullet )$ هو معيار الإنحراف( divergence operator ),
• ${\boldsymbol {\nabla }}(\bullet )$ يمثل معيار الميل و $(\bullet )^{T}$ يمثل النقل,
• ${\ddot {\bullet }}$ يمثل المشتقة الثانية بالنسبة للوقت(اي التسارع).

 نموذج الاحداثيات الديكارتي

المعادلات هي:

• معادلة الحركة:

$\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\,\!$

• معادلات إجهاد إزاحية:

$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})\,\!$

• المعادلات الأساسية.و هذه المعادلة من قانون هوك:

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\!$

حيث:

• $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!$ هي إجهاد كاوكهي تنسور( Cauchy stress tensor ),
• $F_{i}\,\!$ هي قوة الجسم ,
• $\rho \,\!$ هي الكثافة الحجمية( mass density ),
• $u_{i}\,\!$ الازاحة ,
• $C_{ijkl}\,\!$ هي تنسور مرن ( elasticity tensor ) ,
• $\lambda ,\mu ,\nu ,\,\!$ و $E\,\!$ هي ثابت المادة ,
• $\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!$ هي الاجهاد ,
• $\partial _{t}\,\!$ هي $\partial /\partial t\,\!$.

 وسائل الخواص الموحدة المتجانسة

من وسائل الخواص الموحدة ان تنسور مرن يعطينا العلاقة بين الضغوط (الناتجة من الضغوط الداخلية) و السلاسل المتكونة (التشوهات).و في الخواص الموحدة للوسط(اي هواء أو ماء الوسيط المادي) فنجد ان التنسور المرن لا يكون اي علاقة مباشرة فمثلا عند اعطائها القوة سوف لن تكون بنفس التوجه (بالنسبة لاتجاه القوة) .و في حالة الخواص الموحدة فان التنسور المرن:

$C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-\textstyle {\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})\,\!$

حيث K ( فقدان المقدرة) و $\mu \,\!$ (الجمود) و هما ثابتان و يطلق عليهما معاملا المرونة,إذا كان الوسط متجانس تام, فإن معاملات المرونة ( K و $\mu \,\!$) لن تكون مهمة للوسيط اي ان كل منهما بمقدار وحدة واحدة.

المعادلة الأساسة هي:

$\sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu (\varepsilon _{ij}-\textstyle {\frac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk})\,\!$

و يقسم هذا التعبير الرياضي إلى قسمين الايسر الذي يرافق ضغط معين,و الايمن المرافق لقوة شد معينة.و بعبارة ابسط:

$\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}\,\!$

حيث λ هي المعيار الأول أو الباروميتر الأول. لكن المعادلة التأسيسية هي معادلة خطية.و يمكن ان تكون بشكل أكثر عمومية كالتالي:

$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-\textstyle {\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)\,\!$

و هو كما ذكرنا سابقا بأن الشق الايمن يعبر عن قوة الشد و الايسر عن الضغط.و بمعادلة ابسط:

$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{\,}\!$

حيث ν نسبة بواسون,و E  معامل يونج.

 الالستوستاتيك

هي دراسة للمرونة الخطية في حالة التوازن, حيث ان محصلة القوى على جسم مرن تكون صفر, و الازاحة هنا ليست دالة الوقت. و معادلة التوازن هي:

$\sigma _{ij,j}+F_{i}=0\,\!$

 صيغة الازاحة

ان الازاحات متواجدة في كل مكان ولا يوجد فواصل لها. و في هذا السياق فان الضغط و الاجهاد سوف لن تكون مجهولة حسب قانون هوك, كما هو مبين في المعادلة التالية:

${\begin{aligned}\sigma _{ij}&=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}\\&=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\\end{aligned}}\,\!$

• اختلاف التوسعات ( Differentiating yields ):

$\sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)\,\!$

• استبدال معادلة التوازن بالتوسعات:

$\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0\,\!$

أو

$\mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=0\,\!$

حيث $\lambda \,\!$ و $\mu \,\!$ معايير عوجاء( Lamé parameter ).

 المعادلة التوافقية الثنائية

يمكن كتابة معادلة التوازن بالشكل التالي:

$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}\,\!$

و اذا فرضنا ان القوة تساوي صفر ($F_{i,i}=0\,\!$),فستتكون لنا المعادلة التالية:

$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0\,\!$

و اذا بسطنا المعادلة السابقة:

$\alpha ^{2}u_{j,iij}=0\,\!$

حيث نستنتج ان:

$u_{j,iij}=0\,\!$

 صيغة الضغط

$\varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0\,\!$

 حلول للحالات المرنة

• نقطة القوة في الداخل لا نهائية في الخواص الموحدة.
• اتصال جسمين مرنين معا يكون تمغنط.

 انظر أيضاً

• Castigliano's method
• Cauchy momentum equation
• Clapeyron's theorem
• Contact mechanics
• Deformation
• Elasticity (physics)
• GRADELA
• Hooke's law
• Infinitesimal strain theory
• Michell solution
• Plasticity (physics)
• Signorini problem
• Spring system
• Stress (mechanics)
• Stress functions