اشتقاق (رياضيات)

يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية .و تعرف المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى {f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة . نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية . ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

عندما Δx تقارب 0 .

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

${\frac {dy}{dx}}$

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

المنحنى معبر بالأحمر، ومستقيم الظل معبر بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، يسمى بالعدد المشتق

 رمز الإشتقاق

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، أبرزها :

• صيغة جوزيف لويس لاغرانج :

$f'\left(x\right)$

• صيغة غوتفريد لايبنتز :

${\frac {{\mathrm {d} }f}{{\mathrm {d} }x}}$ ،والتي تكافئ الصيغة ${\frac {{\mathrm {d} }\left(f(x)\right)}{{\mathrm {d} }x}}$

• صيغة إسحاق نيوتن :

${\dot {x}}={\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}=x'(t)$ ،تستعمل خاصة في الفيزياء .

• صيغة ليونهارد أويلر :

$D_{x}f(x)\;$

 الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي ، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر . التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

 مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة $f(x)=\,$	المشتقة $f'(x)=\,$	شرط الاشتقاق
$a\,\!$	$0\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$ax\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$1 \over x\,\!$	$-{1 \over x^{2}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
${\sqrt {x}}\,\!$	${1 \over 2{\sqrt {x}}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} _{+}^{*}$
$ax^{n}\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb {N} ^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$
$ax^{n}\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
$ax^{c}\,\!$	$acx^{c-1}\,\!$	$c\,\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*+}$
$\cos(x)\,\!$	$-\sin(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\sin(x)\,\!$	$\cos(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\tan(x)\,\!$	$1 \over \cos ^{2}(x)$ ou $1+\tan ^{2}(x)\,\!$	$x\neq {\pi \over 2}+k\pi$, $k\in \mathbb {Z}$
$\arccos(x)\,\!$	$-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\arcsin(x)\,\!$	${1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\arctan(x)\,\!$	${1 \over 1+x^{2}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$a^{x}\,\!$	$a^{x}\ln a\,\!$	$a\,\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$
$\ln |x|\,\!$	$1 \over x\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
$\exp {x}\,\!$	$\exp {x}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$

 انظر أيضاً

• أمثلة على الاشتقاق